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Translação

{\begin{cases} x_{T} = x + T_{x} \\ y_{T} = y + T_{y} \end{cases}

[\begin{matrix} x_{T} \\ y_{T} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] + [\begin{matrix} T_{x} \\ T_{y} \end{matrix}]

[\begin{matrix} x_{T} \\ y_{T} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & T_{x} \\ 0 & 1 & T_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}]

[\begin{matrix} x_{T} \\ y_{T} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} s_{x} & 0 & 0 \\ 0 & s_{y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}]

Fator de escala:

Em torno da origem. Positiva no sentido anti-horário.

{\begin{cases} x = R \cdot \cos (a) \\ y = R \cdot \sin (a) \end{cases}

[\begin{matrix} x_{R} \\ y_{R} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos (b) & - \sin (b) & 0 \\ \sin (b) & \cos (b) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}]

A aplicação das transformações não é comutativa.

A aplicação das transformações é feita por ordem inversa.

Por exemplo, uma rotação seguida de uma translação:

[\begin{matrix} x_{f} \\ y_{f} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & T_{x} \\ 0 & 1 & T_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} \cos (a) & - \sin (a) & 0 \\ \sin (a) & \cos (a) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}]